https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Неравенства с двумя переменными и их системы Урок 1
Неравенства с двумя переменными Неравенства 3х – 4у 0; и являются неравенствами с двумя переменными х и у. Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая его в верное числовое неравенство. При х = 5 и у = 3 неравенство 3х - 4у 0 обращается в верное числовое неравенство 3 0. Пара чисел (5;3) является решением данного неравенства. Пара чисел (3;5) не является его решением.
Является ли пара чисел (-2; 3) решением неравенства: № 482 (б, в) Не является Является
Решением неравенства называется упорядоченная пара действительных чисел, обращающая это неравенство в верное числовое неравенство. Графически это соответствует заданию точки координатной плоскости. Решить неравенство - значит найти множество его решений
Неравенства с двумя переменными имеют вид: Множество решения неравенства - совокупность всех точек координатной плоскости, удовлетворяющих заданному неравенству.
Множества решения неравенства F(x,y) ≥ 0 х у F(x,y)≤0 х у
F(x, у)>0 F(x, у)
Правило пробной точки Построить F(x ; y)=0 Взяв из какой - либо области пробную точку установить, являются ли ее координаты решением неравенства Сделать вывод о решении неравенства х у 1 1 2 А(1;2) F(x ; y)=0
Линейные неравенства с двумя переменными Линейным неравенством с двумя переменными называется неравенство вида ax + bx +c 0 или ax + bx +c
Найдите ошибку! № 484 (б) -4 2 x 2 -6 y 6 -2 0 4 -2 - 4
Решить графически неравенство: -1 -1 0 x 1 -2 y -2 2 2 1 Строим сплошными линиями графики:
Определим знак неравенства в каждой из областей -1 -1 0 x 1 -2 y -2 2 2 1 3 4 - + 1 + 2 - 7 + 6 - 5 +
Решение неравенства - множество точек, из областей, содержащих знак плюс и решения уравнения -1 -1 0 x 1 -2 y -2 2 2 1 3 4 - + 1 + 2 - 7 + 6 - 5 +
Решаем вместе № 485 (б) № 486 (б, г) № 1. Задайте неравенством и изобразите на координатной плоскости множество точек, у которых: а) абсцисса больше ординаты; б) сумма абсциссы и ординаты больше их удвоенной разности.
Решаем вместе № 2. Задайте неравенством открытую полуплоскость, расположенную выше прямой АВ, проходящей через точки А(1;4) и В(3;5). Ответ: у 0,5х +3,5 № 3. При каких значениях b множество решений неравенства 3х – b у + 7 0 представляет собой открытую полуплоскость, расположенную выше прямой 3х – b у + 7 = 0. Ответ: b 0.
Домашнее задание П. 21, № 483; № 484(в,г); № 485(а); № 486(в).
Предварительный просмотр:
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Неравенства с двумя переменными и их системы Урок 2
Системы неравенств с двумя переменными
Решением системы неравенств с двумя переменными называется пара значений переменных, которая каждое из неравенств системы в верное числовое неравенство. № 1. Изобразить множество решений систем неравенств. № 496 (устно)
а) x у 2 2 x у 2 2 б)
Решаем вместе № 1. При каких значениях k система неравенств задаёт на координатной плоскости треугольник? Ответ: 0
Решаем вместе x у 2 2 2 2 № 2. На рисунке изображён треугольник с вершинами А(0;5), В(4;0), С(1;-2), D(-4 ;2). Задайте этот четырёхугольник системой неравенств. А В С D
Решаем вместе № 3. При каких k и b множеством точек координатной плоскости, задаваемым системой неравенств является: а)полоса; б) угол; в) пустое множество. Ответ: а) k= 2,b 3; б) k ≠ 2, b – любое число; в) k = 2; b
Решаем вместе № 4. Какая фигура задаётся уравнением? (устно) 1) 2) 3) № 5. Изобразите на координатной плоскости множество решений точек, задаваемое неравенством.
Решаем вместе № 497(в,г), 498(в)
Домашнее задание П.22 №496, №497(а,б), №498(а,б), № 504.
Предварительный просмотр:
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Неравенства с двумя переменными и их системы Урок 3
Найдите ошибку! -4 2 x 2 -6 y 6 -2 0 4 -2 - 4
Найдите ошибку! | | | | | | | | | | | | | | | | | | 1 x y 2
Определите неравенство 0 - 6 - 1 5 3 1 2 у х - 3 - 2 1 -3 4
0 - 6 - 1 5 3 1 2 у х - 3 - 2 1 -3 4 Определите неравенство
0 - 3 - 1 5 3 1 2 у х - 3 - 2 1 Определите знак неравенства ≤
Решить графически систему неравенств -1 -1 0 x 1 -2 y -2 2 2 1
Неравенства и системы неравенств высших степеней с двумя переменными № 1. Изобразите на координатной плоскости множество точек, задаваемых системой неравенств
Неравенства и системы неравенств высших степеней с двумя переменными № 2. Изобразите на координатной плоскости множество точек, задаваемых системой неравенств
Неравенства и системы неравенств высших степеней с двумя переменными № 3. Изобразите на координатной плоскости множество точек, задаваемых системой неравенств Преобразуем первое неравенство системы:
Неравенства и системы неравенств высших степеней с двумя переменными Получим равносильную систему
Неравенства и системы неравенств высших степеней с двумя переменными № 4. Изобразите на координатной плоскости множество точек, задаваемых системой неравенств
Решаем вместе № 502 Сборник Галицкого. № 9.66 б) y ≤ |3x -2| 0 - 6 - 1 5 3 1 2 у х - 3 - 2 1 -3 4
. № 9.66(в) Решаем вместе 0 - 6 - 1 5 3 1 2 у х - 3 - 2 1 -3 4 |y| ≥ 3x - 2
Решаем вместе № 9.66(г) 0 - 6 - 1 5 3 1 2 у х - 3 - 2 1 -3 4 |y|
Решить неравенство: x y -1 -1 0 1 -2 -2 2 2 1
0 - 6 - 1 5 3 1 2 у х - 3 - 2 1 -3 4 Запишите систему неравенств
11:11 3) Какую фигуру задает множество решений системы неравенств? Найдите площадь каждой фигуры. 6)Сколько пар натуральных чисел являются решениями системы неравенств? Вычислите сумму всех таких чисел. Решение тренировочных упражнений 2) Запишите систему неравенств с двумя переменными, множество решений которой изображено на рисунке 0 2 х у 2 1) Изобразите на координатной плоскости множество решений системы: 4) Задайте системой неравенств кольцо, изображенное на рисунке. 5)Решите систему неравенств у х 0 5 10 5 10
Решение тренировочных упражнений 7) Вычислите площадь фигуры, заданной множеством решений системы неравенств и найдите наибольшее расстояние между точками этой фигуры 8) При каком значении m система неравенств имеет только одно решение? 9)Укажите какие-нибудь значения k и b , при которых система неравенств задает на координатной плоскости: а) полосу; б) угол.
Это интересно Английский математик Томас Гарриот (Harriot T., 1560-1621) ввёл знакомый нам знак неравенства, аргументируя его так: "Если символом равенства служат два параллельных отрезка, то символом неравенства должны быть пересекающиеся отрезки". В 1585 году молодой Гарриот был послан королевой Англии в исследовательскую экспедицию по Северной Америке. Там он увидел популярную среди индейцев татуировку в виде Вероятно поэтому Гарриот предложил знак неравенства в двух его видах: ">" больше, чем… и "
Это интересно Символы ≤ и ≥ нестрогого сравнения предложил Валлис в 1670 году. Первоначально черта была выше знака сравнения, а не под ним, как сейчас. Общее распространение эти символы получили после поддержки французского математика Пьера Бугера (1734), у которого они приобрели современный вид.
Пусть f(x,y) и g(x, y) - два выражения с переменными х и у и областью определения Х . Тогда неравенства вида f(x, y) > g(x, y) или f(x, y) < g(x, y) называется неравенством с двумя переменными .
Значение переменных х, у из множества Х , при которых неравенство обращается в истинное числовое неравенство, называется его решением и обозначается (x, y) . Решить неравенство - это значит найти множество таких пар.
Если каждой паре чисел (x, y) из множества решений неравенства поставить в соответствие точку М(x, y) , получим множество точек на плоскости, задаваемое этим неравенством. Его называют графиком данного неравенства . График неравенства обычно является областью на плоскости.
Чтобы изобразить множество решений неравенства f(x, y) > g(x, y) , поступают следующим образом. Сначала заменяют знак неравенства знаком равенства и находят линию, имеющую уравнение f(x,y) = g(x,y) . Эта линия делит плоскость на несколько частей. После этого достаточно взять в каждой части по одной точке и проверить, выполняется ли в этой точке неравенство f(x, y) > g(x, y) . Если оно выполняется в этой точке, то оно будет выполняться и во всей части, где лежит эта точка. Объединяя такие части, получаем множество решений.
Задача. y > x .
Решение. Сначала заменим знак неравенства знаком равенства и построим в прямоугольной системе координат линию, имеющую уравнение y = x .
Эта линия делит плоскость на две части. После этого возьмем в каждой части по одной точке и проверим, выполняется ли в этой точке неравенство y > x .
Задача.
Решить графически неравенство
х
2 + у
2 £ 25.
|
Решение.
Сначала заменим знак неравенства знаком равенства и проведем линию х
2 + у
2 = 25. Это окружность с центром в начале координат и радиусом 5. Полученная окружность делит плоскость на две части. Проверяя выполнимость неравенства х
2 + у
2 £ 25 в каждой части, получаем, что графиком является множество точек окружности и части плоскости внутри окружности. Пусть даны два неравенства f 1(x, y) > g 1(x, y) и f 2(x, y) > g 2(x, y) .
Системы совокупностей неравенств с двумя переменными
Система неравенств представляет собой конъюнкцию этих неравенств. Решением системы является всякое значение (x, y) , которое обращает каждое из неравенств в истинное числовое неравенство. Множество решений системы неравенств есть пересечение множеств решений неравенств, образующих данную систему.
Совокупность неравенств представляет собой дизъюнкцию этих неравенств. Решением совокупности является всякое значение (x, y) , которое обращает в истинное числовое неравенство хотя бы одно из неравенств совокупности. Множество решений совокупности есть объединение множеств решений неравенств, образующих совокупность.
Задача.
Решить графически систему неравенств
Графиком системы будет множество точек плоскости, являющихся пересечением (двойная штриховка) множеств решений первого и второго неравенств.
Задача.
Решить графически совокупность неравенств
Упражнения для самостоятельной работы
1. Решите графически неравенства: а) у > 2x ; б) у < 2x + 3;
в) x 2 + y 2 > 9; г) x 2 + y 2 £ 4.
2. Решите графически системы неравенств:
а) в)
Фестиваль исследовательских и творческих работ учащихся
«Портфолио»
Уравнения и неравенства с двумя переменными
и их геометрическое решение.
Федорович Юлия
ученица 10 класса
МОУ СОШ №26
Руководитель:
Кульпина Е.В.
учитель математики
МОУ СОШ №26
г.Зима, 2007г.
Введение.
2. Уравнения с двумя переменными, их геометрическое решение и применение.
2.1 Системы уравнений.
2.2 Примеры решения уравнений с двумя переменными.
2.3. Примеры решения систем уравнений с двумя переменными.
3. Неравенства и их геометрическое решение.
3.1. Примеры решения неравенств с двумя переменными
4. Графический метод решения задач с параметрами.
5.Заключение.
6.Список использованной литературы.
1.Введение
Я взяла работу на эту тему, потому что изучение поведения функций и построение их графиков является важным разделом математики, и свободное владение техникой построения графиков часто помогает решать многие задачи, и порой является единственным средством их решения. Также графический метод решения уравнений позволяет определить число корней уравнения, значения корня, найти приближенные, а иногда точные значения корней.
В технике и физике часто используются именно графическим способом задания функций. Ученый- сейсмолог, анализируя сейсмограмму, узнает, когда было землетрясение, где оно произошло, определяет силу и характер толчков. Врач, исследовавший больного, может по кардиограмме судить о нарушениях сердечной деятельности: изучение кардиограммы помогает правильно поставить диагноз заболевания. Инженер – радиоэлектроник по характеристике полупроводникового элемента выбирает наиболее подходящий режим его работы. Количество таких примеров легко увеличить. Более того, по мере развития математики растет проникновение графического метода в самые различные области жизни человека. В частности, использование функциональных зависимостей и построение графиков широко применяется в экономике. Значит, растет и важность изучения рассматриваемого раздела математики в школе, в вузе, и особенно- важность самостоятельной работы над ним.
С развитием вычислительной техники, с ее прекрасными графическими средствами и высокими скоростями выполнения операций, работа с графиками функций стала значительно интересней, наглядней, увлекательней. Имея аналитическое представление некоторой зависимости, можно построить график быстро, в нужном масштабе и цвете, используя для этого различные программные средства.
Уравнения с двумя переменными и их геометрическое решение.
Уравнение вида f (x ; y )=0 называется уравнением с двумя переменными.
Решением уравнения с двумя переменными называется упорядоченная пара чисел (α, β), при подстановке которой (α – вместо х, β – вместо у) в уравнении имеет смысл выражение f (α; β)=0
Например, для уравнения ((х
+1)) 2 + у
2
=0 упорядоченная пара чисел (0;0) есть его решение, так как выражение ((0+1)
Решить уравнение – значит найти множество всех его решений.
Уравнения с двумя переменными может:
а) иметь одно решение. Например, уравнение х 2 +у 2 =0 имеет одно решение (0;0);
б) иметь несколько решений. Например, данное уравнение (│х │- 1) 2 +(│у │- 2) 2 имеет четыре решения: (1;2),(-1;2),(1;-2),(-1;-2);
в) не иметь решений. Например уравнение х 2 +у 2 + 1=0 не имеет решений;
г) иметь бесконечно много решений. Например, такое уравнение, как х-у+1=0 имеет бесконечно много решений
Иногда бывает полезной геометрическая интерпретация уравнения f (x ; y )= g (x ; y ) . На координатной плоскости хОу множество всех решений – некоторое множество точек. В ряде случаев это множество точек есть некоторая линия, и в этом случае говорят, что уравнение f (x ; y )= g (x ; y ) есть уравнение этой линии, например:
рис.1 рис.2 рис.3
рис.4 рис.5 рис.6
2.1 Системы уравнений
Пусть заданы два уравнения с неизвестными х и у
F 1 (x ; y )=0 и F 2 (x ; y )=0
Будем считать, что первое из этих уравнений задаёт на плоскости переменных х и у линию Г 1 , а второе - линию Г 2 . Чтобы найти точки пересечения этих линий, надо найти все пары чисел (α, β), такие, что при замене в данных уравнениях неизвестной х на число α и неизвестной у на число β, получаются верные числовые равенства. Если поставлена задача об отыскании всех таких пар чисел, то говорят, что требуется решить систему уравнений и записывают эту систему с помощью фигурной скобки в следующем виде
Решением системы называется такая пара чисел (α, β), которая является решением как первого, так и второго уравнений данной системы.
Решить систему – значить найти множество всех ее решений, или доказать, что решений нет.
В ряде случаев геометрическая интерпретация каждого уравнения системы, ибо решения системы соответствуют точкам пересечения линий, задаваемых каждым уравнением системы. Часто геометрическая интерпретация позволяет лишь догадаться о числе решений.
Например, выясним, сколько решений имеет система уравнений
Первое из уравнений системы задает окружность радиусом R=
Примеры решения уравнений с двумя переменными
Изобразите все точки с координатами (х;у), для которых выполняется равенство.
1. (х-1)(2у-3)=0
Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений
Каждое из полученных уравнений определяет на координатной плоскости прямую.
2. (х-у)(х 2 -4)=0
Решением данного уравнения является множество точек плоскости, координаты, которых удовлетворяют совокупности уравнений
На координатной плоскости решение будет выглядеть так
3. 
Решение: Воспользуемся определением абсолютной величины и заменим данное уравнение равносильной совокупностью двух систем
у=х 2 +2х у = -х 2 +2х
х 2 +2х=0 х в =1 у в =1
х(х+2)=0
х в =-1 у в =1-2=-1
Примеры решения систем.
Решить систему графическим способом:
1)
В каждом уравнении выразим переменную у через х и построим графики соответствующих функций:
у =
а) построим график функции у=
График функции у =+1 получается из графика у = путем сдвига на две единицы вправо и на одну единицу вверх:
у = - 0,5х+2 - это линейная функция, графиком которой является прямая
Решением данной системы являются координаты точки пересечения графиков функций.
Ответ (2;1)
3.Неравенства и их геометрическое решение.
Неравенство с двумя неизвестными можно представить так: f (x ; y ) >0, где Z = f (x ; y ) – функция двух аргументов х и у . Если мы рассмотрим уравнение f (x ; y ) = 0, то можно построить его геометрическое изображение, т.е. множество точек М(х;у), координаты которых удовлетворяют этому уравнению. В каждой из областей функция f сохраняет знак, остается выбрать те из них, в которых f (x ;у) >0.
Рассмотрим линейное неравенство ax + by + c >0. Если один из коэффициентов a или b отличен от нуля, то уравнение ax + by + c =0 задает прямую, разбивающую плоскость на две полуплоскости. В каждой из них будет сохраняться знак функции z = ax + by + c . Для определения знака можно взять любую точку полуплоскости и вычислить значение функции z в этой точке.
Например:
3х – 2у +6 >0.
f (x ;у) = 3х- 2у +6,
f (-3;0) = -3 <0,
f (0;0) = 6>0.
Решением неравенства является множество точек правой полуплоскости (закрашенной на рисунке 1)
Рис. 1
Неравенству │y│+0,5 ≤ 
Р
f
(x
;
y
) =
f (0;0) = -1,5<0
f (2;2)= 2,1>0
3.1. Примеры решения неравенств с двумя переменными.
Изобразите множество решений неравенства
а)
у=х 2 -2х
у=|х 2 -2х|
|у|=|х 2 -2х|
f
(x
;
y
)=
f (1;0)=-1<0
f (3;0) = -3<0
f (1;2) =1>0
f (-2;-2) = -6<0
f (1;-2)=1>0
Решением неравенства является закрашенная область на рисунке 3. Для построения данной области применялись способы построения графика с модулем
Рис. 3
1)
f(2;0)=3>0
f(0;2)=-1<0
f(-2;0)=1>0
f(0;-2)=3>0
Для решения данного неравенства воспользуемся определением абсолютной величины
3.2. Примеры решения систем неравенств.
Изобразите множество решений системы неравенств на координатной плоскости
а)
б)
4. Графический метод решения задач с параметрами
Задачами с параметрами называют задачи, в которых участвуют фактически функции нескольких переменных, из которых одна переменная х выбрана в качестве независимой переменной, а оставшиеся играют роль параметров. При решении таких задач особенно эффективны графические методы. Приведем примеры
По рисунку видно, что прямая у=4
пересекает график функции у=
Найти все значения параметра а , при которых уравнение х 2 -6|х|+5=а имеет ровно три различных корня.
Решение: Построим график функции у=х 2 -6х+5 для х ≥0 и отражаем его зеркально относительно оси ординат. Семейство прямых, параллельных оси абсцисс у=а , пересекает график в трех точках при а =5
3. Найти все значения а,
при которых неравенство 
Множество точек координатной плоскости, значения координаты х и параметра а которых удовлетворяют данному неравенству, представляют собой объединение двух областей, ограниченных параболами. Решением данного задания является множество точек, расположенных в правой полуплоскости при
х+а+х
Неравенством с двумя переменными х и у называется неравенство вида:
(или знак )
где – некоторое выражение с данными переменными.
Решением неравенства с двумя переменными называют упорядоченную пару чисел при которой это неравенство обращается в верное числовое неравенство.
Решить неравенство – значит найти множество всех его решений. Решением неравенства с двумя переменными является некоторое множество точек координатной плоскости.
Основным методом решений данных неравенств является графический метод. Он заключается в том, что строятся линии границ (если неравенство строгое, линия строится пунктиром). Уравнение границы получаем, если в заданном неравенстве заменяем знак неравенства на знак равенства. Все линии в совокупности разбивают координатную плоскость на части. Искомое множество точек, которое соответствует заданному неравенству или системе неравенств, можно определить, если взять контрольную точку внутри каждой области области.
Совокупность неравенств с двумя переменными имеет вид
Решением совокупности является объединение всех решений неравенств.
Пример 1.
Решить систему
Решение. Построим в системе Оху соответствующие линии (рис.19):
Уравнение задает окружность с центром в точке О ¢(0; 1) и R = 2.
Уравнение определяет параболу с вершиной в точке О (0; 0).
Найдем решения каждого из неравенств, входящих в систему. Первому неравенству соответствует область внутри окружности и сама окружность (в справедливости этого убеждаемся, если подставим в неравенство координаты любой точки из этой области). Второму неравенству соответствует область, расположенная под параболой.
Решение системы – пересечение двух указанных областей (на рис.19 показано наложением двух штриховок).
Задания
I уровень
1.1. Решить графически:
3) ; 4) 
5) ; 6) 
7) 
II уровень
2.1. Решите графически:
1) 
2.2. Найдите количество целочисленных решений системы:
1) 2) 3)
2.3. Найдите все целочисленные решения системы:
1) 
1. Неравенства с двумя переменными. Способы решения системы двух неравенств с двумя переменными: аналитический способ и графический способ.
2. Системы двух неравенств с двумя переменными: запись результата решения.
3. Совокупности неравенств с двумя переменными.
НЕРАВЕНСТВА И СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ. Предикат вида f₁(х, у)>< f 2 (х, у), хÎХ, уÎ У, где f₁(х, у) и f 2 (х, у) - выражения с переменными х и у, определенные на множестве ХхУ называется неравенством с двумя переменными (с двумя неизвестными) х и у. Ясно, что любое неравенство вида с двумя переменными можно записать в виде f(х, у) > 0, хÎХ, уÎ У. Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая неравенство в верное числовое неравенство. Известно, что пара действительных чисел (х, у) однозначно определяет точку координатной плоскости. Это дает возможность изобразить решения неравенства или системы неравенств с двумя переменными геометрически, в виде некоторого множества точек координатной плоскости. Если уравнение.
f(х, у) = 0 определяет некоторую линию на координатной плоскости, то множество точек плоскости, не лежащих на этой линии, состоит из конечного числа областей С₁, С 2 , ..., С п (рис. 17.8). В каждой из областей С, функция f(х, у) отлична от нуля, т.к. точки, в которых f(х, у) = 0 принадлежат границам этих областей.
Решение. Преобразуем неравенство к виду х > у 2 + 2у - 3. Построим на координатной плоскости параболу х = у 2 + 2у - 3. Она разобьет плоскость на две области G₁ и G 2 (рис. 17.9). Так как абсцисса любой точки, лежащей правее параболы х = у 2 + 2у - 3, больше, чем абсцисса точки, имеющей ту же ординату, но лежащей на параболе, и т.к. неравенство х>у г + 2у -3 нестрогое, то геометрическим изображением решений данного неравенства будет множество точек плоскости, лежащих на параболе х = у 2 + 2у - 3 и правее нее (рис. 17.9).
| Рис. 17.9 |
Рис. 17.10
Пример 17.15. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств
у > 0,
ху > 5,
х + у <6.
Решение. Геометрическим изображением решения системы неравенств х > 0, у > 0 является множество точек первого координатного угла. Геометрическим изображением решений неравенства х + у < 6 или у < 6 - х является множество точек, лежащих ниже прямой и на самой прямой, служащей графиком функции у = 6 - х. Геометрическим изображением решений неравенства ху > 5 или, поскольку х > 0 неравенства у > 5/х является множество точек, лежащих выше ветви гиперболы, служащей графиком функции у = 5/х. В итоге получаем множество точек координатной плоскости, лежащих в первом координатном углу ниже прямой, служащей графиком функции у = 6 - х, и выше ветви гиперболы, служащей графиком функции у = 5х (рис. 17.10).
Глава III. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И НУЛЬ
